【学习笔记】如何从头实现一个神经网络

原文链接

  • 神经网络的组成

    • 感知机（神经元）
    • 权重的理解

  • 神经网络的工作原理

    神经网络的工作大致可分为前向传播和反向传播，类比人们学习的过程，前向传播如读书期间，学生认真学习知识点，进行考试，获得自己对知识点的掌握程度；反向传播是学生获得考试成绩作为反馈，调整学习的侧重点。

    • 前向传播

      在2个输入和两个输出的神经网络中

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      前向传播对应的输出为 和 ，换成矩阵表示为

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      以上$W$矩阵每行数乘以$X$矩阵每列数是矩阵乘法，也称为点乘（dot product）或内积（inner product)。

      继续增加一层隐藏层，如下图所示，并采用矩阵乘法表示输出结果，可以看到一系列线性的矩阵乘法，其实还是求解 4 个权重值，这个效果跟单层隐藏层的效果一样：

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    • 激活函数的作用

      大多数真实世界的数据是非线性的，我们希望神经元学习这些非线性表示，可以通过激活函数将非线性引入神经元。

      激活函数 ReLU（Rectified Linear Activation Function）的阈值为 0，对于大于 0 的输入，输出为输入值，对于小于 0 的输入值，输出为 0，公式和图像表示如下：

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      这里扩展一下，激活函数有很多种，例如常用的 sigmoid 激活函数，只输出范围内的数字$(0,1)$ ，它将无界输入转换为具有良好、可预测的输出形式，sigmoid 函数的公式和图像如下。

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      加入 ReLU 激活函数的神经网络如下图所示：

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      再以徒步为例， $y_1=5$表示去徒步， $y_2=1$表示不去徒步，在生活中会用概率表示徒步的可能性，用 SoftMax 函数调整输出值，公式如下。

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      $y_1=5$和$y_2=1$的计算过程如下，可以看到徒步的概率是 98%：

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      加入 SoftMax 函数的神经网络如下图所示：

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      获得神经网络的输出值 (0.98, 0.02) 之后，与真实值 (1, 0) 比较，非常接近，仍然需要与真实值比较，计算差距（也称误差，用$e$表示），就跟摸底考试一样，查看学习的掌握程度，同样神经网络也要学习，让输出结果无限接近真实值，也就需要调整权重值，这里就需要反向传播了。

    • 反向传播

      在反向传播过程中需要依据误差值来调整权重值，可以看成参数优化过程，简要过程是，先初始化权重值，再增加或减少权重值，查看误差是否最小，变小继续上一步相同操作，变大则上一步相反操作，调整权重后查看误差值，直至误差值变小且浮动不大。

    • 学习率

      斜率的大小表明变化的速率，意思是当斜率比较大的情况下，权重 变化所引起的结果变化也大。把这个概念引入求最小化的问题上，以权重导数乘以一个系数作为权重更新的数值，这个系数我们叫它学习率(learning rate)，这个系数能在一定程度上控制权重自我更新，权重改变的方向与梯度方向相反，如下图所示，权重的更新公式如下：

      Wnew=Wold−LearningRate×DerivativeW_{new}=W_{old}-Learning Rate\times Derivative

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      误差是目标值与实际输出值之间的差值，公式如下：

      损失函数=(目标值-实际值)^{2}

      带入输入表示为：

      MSE−Loss=(w×x−ytrue)2MSE-Loss=(w\times x-y_{true})^{2}

      导数为：

      (w×x−y)′=2x(wx−y)=2x(y−ytrue)(w\times x-y)'=2x(wx-y)=2x(y-y_{true})

      经过反复迭代，让损失函数值无限接近 0，浮动不大时，获得合适的权重，即神经网络训练好了。

      损失函数的Python实现代码如下。

      import numpy as np

def mse-loss(y_true, y_pred):
  # y_true and y_pred are numpy arrays of the same length.
  return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()

y_true = np.array([1, 0, 0, 1])
y_pred = np.array([0, 0, 0, 0])

print(mse_loss(y_true, y_pred)) # 0.5

  • Numpy实现神经元

    神经元会有以下这样的形式。

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    对于输入$x_1$和$x_2$有对应的权重值$w_1$和$w_2$，两两相乘相加之后，还会加上一个参数$b$，经过一个激活函数（记为$f()$），输出$y$，表示如下：

    y=f(x1×w1+x2×w2+b)y=f(x_1\times w_1+x_2\times w_2 +b)

    例子在原文中可以看到

  • Numpy实现前向传播

    同样在神经网络中，如下图所示，这个网络有 2 个输入，一个隐藏层有 2 个神经元（$h_1$ 和$h_2$ ），和一个有 1 个神经元的输出层（$o_1$）。

    输入：$x=[2,3]$，假设所有的神经元具有相同的权重 $w=[0,1]$，相同的偏差$b=0$ ，使用 sigmoid 激活函数。

    输出如下：

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  • Numpy实现可学习的神经网络

    终于到了实现一个完整的神经网络的时候了，把参数全安排上，别吓着了~

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    现在有一个明确的目标：最小化神经网络的损失，将损失写成多变量函数，其中$y=1$ 。

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    接下来数学公式有点多，别放弃~拿出笔和纸，一起写写！

    变量多的时候，求其中一个变量的导数时，成为求偏导数，接下来求$w_1$的偏导数，公式如下：

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    橙色框的内容关于损失函数可以直接得到：

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    绿色框的内容，继续分析 :

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    只影响 不影响 ，绿色框的内容拆解为：

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    最终关于$w_1$的偏导数，公式如下：

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    为了便于大家理解，将公式放在一起，请查阅~

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    这里会对 sigmoid 函数求导，求导的结果如下：

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    获得偏导数后，回忆一下参数的更新公式：

    学习率偏导数

    • 如果偏导数为正，则参数减少；
    • 如果偏导数为负，则参数增加。

    如果我们对网络中的每个权重和偏差都这样做，损失将慢慢减少。

    整个过程如下：

    • 1.从我们的数据集中选择一个样本，进行操作
    • 2.计算损失中关于权重和偏差的偏导数
    • 3.使用更新公式更新每个权重和偏差
    • 4.回到步骤1
    import numpy as np

def sigmoid(x):
  # Sigmoid activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
  return 1 / (1 + np.exp(-x))

def deriv_sigmoid(x):
  # Derivative of sigmoid: f'(x) = f(x) * (1 - f(x))
  fx = sigmoid(x)
  return fx * (1 - fx)

def mse_loss(y_true, y_pred):
  # y_true and y_pred are numpy arrays of the same length.
  return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()

class OurNeuralNetwork:
  '''
  A neural network with:
    - 2 inputs
    - a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
    - an output layer with 1 neuron (o1)

  *** DISCLAIMER ***:
  The code below is intended to be simple and educational, NOT optimal.
  Real neural net code looks nothing like this. DO NOT use this code.
  Instead, read/run it to understand how this specific network works.
  '''
  def __init__(self):
    # Weights
    self.w1 = np.random.normal()
    self.w2 = np.random.normal()
    self.w3 = np.random.normal()
    self.w4 = np.random.normal()
    self.w5 = np.random.normal()
    self.w6 = np.random.normal()

    # Biases
    self.b1 = np.random.normal()
    self.b2 = np.random.normal()
    self.b3 = np.random.normal()

  def feedforward(self, x):
    # x is a numpy array with 2 elements.
    h1 = sigmoid(self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1)
    h2 = sigmoid(self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2)
    o1 = sigmoid(self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3)
    return o1

  def train(self, data, all_y_trues):
    '''
    - data is a (n x 2) numpy array, n = # of samples in the dataset.
    - all_y_trues is a numpy array with n elements.
      Elements in all_y_trues correspond to those in data.
    '''
    learn_rate = 0.1
    epochs = 1000 # number of times to loop through the entire dataset

    for epoch in range(epochs):
      for x, y_true in zip(data, all_y_trues):
        # --- Do a feedforward (we'll need these values later)
        sum_h1 = self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1
        h1 = sigmoid(sum_h1)

        sum_h2 = self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2
        h2 = sigmoid(sum_h2)

        sum_o1 = self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3
        o1 = sigmoid(sum_o1)
        y_pred = o1

        # --- Calculate partial derivatives.
        # --- Naming: d_L_d_w1 represents "partial L / partial w1"
        d_L_d_ypred = -2 * (y_true - y_pred)

        # Neuron o1
        d_ypred_d_w5 = h1 * deriv_sigmoid(sum_o1)
        d_ypred_d_w6 = h2 * deriv_sigmoid(sum_o1)
        d_ypred_d_b3 = deriv_sigmoid(sum_o1)

        d_ypred_d_h1 = self.w5 * deriv_sigmoid(sum_o1)
        d_ypred_d_h2 = self.w6 * deriv_sigmoid(sum_o1)

        # Neuron h1
        d_h1_d_w1 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h1)
        d_h1_d_w2 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h1)
        d_h1_d_b1 = deriv_sigmoid(sum_h1)

        # Neuron h2
        d_h2_d_w3 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h2)
        d_h2_d_w4 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h2)
        d_h2_d_b2 = deriv_sigmoid(sum_h2)

        # --- Update weights and biases
        # Neuron h1
        self.w1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w1
        self.w2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w2
        self.b1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_b1

        # Neuron h2
        self.w3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w3
        self.w4 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w4
        self.b2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_b2

        # Neuron o1
        self.w5 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w5
        self.w6 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w6
        self.b3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_b3

      # --- Calculate total loss at the end of each epoch
      if epoch % 10 == 0:
        y_preds = np.apply_along_axis(self.feedforward, 1, data)
        loss = mse_loss(all_y_trues, y_preds)
        print("Epoch %d loss: %.3f" % (epoch, loss))

# Define dataset
data = np.array([
  [-2, -1],  # Alice
  [25, 6],   # Bob
  [17, 4],   # Charlie
  [-15, -6], # Diana
])
all_y_trues = np.array([
  1, # Alice
  0, # Bob
  0, # Charlie
  1, # Diana
])

# Train our neural network!
network = OurNeuralNetwork()
network.train(data, all_y_trues)

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